Pembahasan Soal HOTS Matematika

Halo sobat yuktheory.com happy yuktheory ! Kali ini kami akan memberikan Pembahasan Soal HOTS Matematika

  1. Akar-akar persamaan kuadrat  2{x^2} - 2mx + 3m  adalah p dan q. Diketahui p dan q dengan p > q  membentuk barisan geometri dengan rasio  \frac{1}{3} . Bila  pq dan  \frac{1}{2}m - n  membentuk barisan aritmatika, berapakah nilai n?

    jawab

    2{x^2} - 2mx + 3m

    a = 2     = -2m     c = 3m

    maka:
          p + q =  - \frac{b}{a} = m    ………………………. persamaan 1
       
          \frac{p}{q} = 3  ……………………………………. persamaan 2
          pq = \frac{c}{a} = \frac{{3m}}{2}   ……………………………..persamaan 3

    dari persamaan 1 dan 2

           p
     + q = m   ………dibagi q

           \frac{p}{q} + 1 = \frac{m}{q} 

           3 + 1 = \frac{m}{q} 

           m
     = 4q  ………………………………………….persamaan 4

    masukan persamaan 4 ke persamaan 3
           pq = \frac{{3m}}{2} 
         
           pq = \frac{{3 \cdot 4q}}{2}       berakibat p = 6

    dari persamaan 1
           
           p
     + q = m
           6 + q = 4q
           berakibat q = 2 dan m = 8

    maka
           q - p = \frac{1}{2}m - n

           2 - \,\,6 = \,\,\,\,\,8\,\,\,\,\, - n

          \, - 4\,\, = \,\,\,\,4\,\,\,\, - \,\,n

           berakibat n = 6
  2. Diketahui  f(x) = 4{x^2} - 3  dan  g(x) = {2^x} . Nilai dari  {g^{ - 1}}(f({x^2}) + 2f(x) + 9)  adalah …

    Jawab
         f(x) = 4{x^2} - 3   dan   g(x) = {2^x}

          {g^{ - 1}}(x) = \,\,\,{\,^2}\log x

         {g^{ - 1}}(f({x^2}) + 2f(x) + 9) =   \,{\,^2}\log \left( {\left( {4{{({x^2})}^2} - 3} \right) + 2\left( {4{x^2} - 3} \right) + 9} \right)

                                      = \,{\,^2}\log \left( {\left( {4{x^4} - 3} \right) + 8{x^2} - 6 + 9} \right)

                                      = \,{\,^2}\log \left( {4{x^4} + 8{x^2}} \right)

                                      = \,{\,^2}\log 4{x^2}\left( {{x^2} + 2} \right)

                                      = 2\,{\,^2}\log 2x{ + ^2}\log \left( {{x^2} + 2} \right)

                                      = 2\,\,(1{ + ^2}\log x){ + ^2}\log \left( {{x^2} + 2} \right)
  3. Himpunan persamaan 

                {\frac{1}{x} + \frac{2}{y} + \frac{3}{z} = 34}

                {\frac{3}{x} - \frac{1}{y} - \frac{4}{x} =  - 30}

                {\frac{1}{x} + \frac{2}{y} - \frac{6}{x} =  - 38}

    adalah x, y dan z. Jika x, y dan berturut-turut membentuk barisan geometri, jumlah lima suku pertamanya adalah …

    Jawab
    misalkan {A = \frac{1}{x}} ,   {B = \frac{1}{y}} ,   {C = \frac{4}{x}} 

    maka:
                  {A + 2B + 3C = 34}  …………. persamaan 1            {3A - B - 4C =  - 30}  …………. persamaan 2

                 {A + 2B - 6C =  - 38} …………. persamaan 3

    dengan mengeliminasi  persamaan 1 dan 3 diperoleh:
    C = 8

    dengan memasukan nilai C pada persamaan 1 dan 2 dan mengeliminasi persamaan 1 dan 2 diperoleh:
    A = 2 dan B = 4

    dengan demikian nilai x, y, z masing-masing adalah
                 
                  {x = \frac{1}{A} = \frac{1}{2}}
                 
                  {y = \frac{1}{B} = \frac{1}{4}}

                  {z = \frac{1}{C} = \frac{1}{8}}

    Jumlah 5 suku pertama adalah
               
                 {{u_1} = a = \frac{1}{2}},    {r = \frac{1}{2}}

                 {{S_5} = \frac{{a(1 - {r^n})}}{{1 - r}}} 
           
                      { = \frac{{\frac{1}{2}(1 - {{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^5})}}{{1 - \frac{1}{2}}}} 
                 
                      { = \frac{{\frac{1}{2}(1 - \frac{1}{{32}})}}{{\frac{1}{2}}} = \frac{{31}}{{32}}}
  4. Semua nilai x yang memenuhi pertidaksamaan kuadrat  \frac{{ - {x^2} + 2px - 6}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {{x^2} - x - 6} \right)}} \ge 0  dengan   - 1 \le p \le 2  adalah ….

    Jawab
    Persamaan kuadrat dikatakan
          a. definit positif bila a > 0 dan D < 0
          b. definit negatif bila a < 0 dan D < 0

    dengan demikian, persamaan kuadrat
            { - {x^2} + 2px - 6}     =>     a = -1 < 0
            
             D = {b^2} - 4ac 
                 = {(2p)^2} - 4( - 1)( - 6) 

             D = 4{p^2} - 24 < 0 
                 = {p^2} - 6 < 0 
                 \Leftrightarrow \,\,\,\,\sqrt 6  < p < \sqrt 6          perhatikan bahwa    - \sqrt 6  <  - 1 < p < 2 < \sqrt 6

    oleh karena  - \sqrt 6  <  - 1 < p < 2 < \sqrt 6   dan a < 0
    maka perssamaan
    { - {x^2} + 2px - 6} definit negatif

    maka agar pertidaksamaan  \frac{{ - {x^2} + 2px - 6}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {{x^2} - x - 6} \right)}} \ge 0  dipenuhi, syarat yang harus dipenuhi adalah

                   {\left( {x - 2} \right)\left( {{x^2} - x - 6} \right) < 0}

                   {\left( {x - 2} \right)(x - 3)(x + 2) < 0}

    Daerah penyelesaiannya adalah
            
              x <  – 2   atau 2 < x < 3
  5. Jika daerah penyelesaian
             x + 2y \ge 8
           px + y \ge  - 6
            x + 2y \le 18
                x,y \ge 0
    berbentuk trapesium siku-siku di titik potong antara x + 2y \le 18 dengan px + y \ge  - 6, maka nilai maksimum f(x,y) = 3x + 4y adalah …

    Jawab
    Bila garis k  bergradien m dan garis l memiliki gradien n, maka kedua garis k dan garis l dikatakan berpotongan tegak lurus bila  m =  - \frac{1}{n}

    karena x + 2y = 18 memiliki gradien  m = \frac{1}{2}  dan memotong tegak lurus dengan garis px + y = -6, maka pastilah  p = – 2.

    Dengan demikian diperoleh persamaan:
             x + 2y \ge 8 
             - 2x + y \ge  - 6  
            x + 2y \le 18 
                x,y \ge 0 

    maka daerah hasilnya dapat dilukiskan melalui grafik berikut:



    titik potong garis -2x + y = -6 dan x + 2y = 8 terjadi di (4,2)
    titik potong garis -2x + y = -6 dan x + 2y = 18 terjadi di (6,6)

    titik kritis
    (4,2)  =>  f(x,y) = 3x + 4y = 3 . 4 + 4 . 2 = 12 + 8 = 20
    (6,6)  =>  f(x,y) = 3x + 4y = 3 . 6 + 4 . 6 = 18 + 24 = 42
    (8,0)\ =>  f(x,y) = 3x + 4y = 3 . 8 + 4 . 0 = 24 + 0 = 24
    (18,0) => f(x,y) = 3x + 4y = 3. 18 + 4 . 6 = 54 + 0 = 54

    jadi nilai maksimum f(x,y) = 3x + 4y = 54
  6. Misalkan  A = \left( {\begin{array}{ccccccccccccccc}
{{U_1}}&{{U_2}}\\
{{U_3}}&{{U_4}}
\end{array}} \right)  dengan  {U_1},{U_2},{U_3},{U_4}  membentuk suatu barisan aritmatika dengan suku kedua adalah 8 dan suku keempat adalah 14. Jika B adalah invers dari A, maka determinan dari B adalah …

    jawab

           {U_1} = a

           {U_2} = a + b = 8

           {U_4} = a + 3b = 14

    dengan cara eliminasi didapat b = 3 dan  a = 5

    maka

           {U_1} = 5

           {U_3} = a + 2b = 11



    Jadi matriks  A = \left( {\begin{array}{ccccccccccccccc}
5&8\\
{11}&{14}
\end{array}} \right)

    \det (B) = \frac{1}{{\det (A)}}   = \frac{1}{{5 \cdot 14 - 11 \cdot 8}}   =  - \frac{1}{{18}}
  7. Jika pqp+qpq adalah bilangan positif dan saling membentuk barisan geometri, maka nilai p dan rasionya adalah …

    jawab
       
          r = \frac{q}{p} = \frac{{p + q}}{q} = \frac{{pq}}{{p + q}}

    perhatikan

          r = \frac{{p + q}}{q}     dan     r = \frac{q}{p} 

             = \frac{p}{q} + 1

          r = \frac{1}{r} + 1   \Leftrightarrow \,\,\,\,\,{r^2} - r - 1 = 0


          {r_{1,2}} = \frac{{ - b \pm \sqrt {{b^2} - 4ac} }}{{2a}}

               { = \frac{{ - ( - 1) \pm \sqrt {{{( - 1)}^2} - 4.(1).( - 1)} }}{{2.1}}}   { = \frac{{1 \pm \sqrt 5 }}{2}}

    perhatikan juga

         r = \frac{{p + q}}{q} \Leftrightarrow \,\,\,qr = p + q   dan    r = \frac{{pq}}{{p + q}}   \Leftrightarrow r = \frac{{pq}}{{qr}}

                                                   r = \frac{p}{r} \Leftrightarrow {r^2} = p

    maka
          p = {r^2} = {\left( {\frac{{1 \pm \sqrt 5 }}{2}} \right)^2}   = \frac{{1 + 5 \pm 2\sqrt 5 }}{2}   { = 3 \pm \sqrt 5 }
  8.  Nilai dari   {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sin 6x - \cos 4x}}{{\sqrt {9 - x}  - 3}} = ...  adalah ..

    Jawabdengan dalil D’Hospital diperoleh

         {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sin 6x - \cos 4x}}{{\sqrt {9 - x}  - 3}}    =  {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{6 \cdot \cos 6x \cdot \cos 4x - 4 \cdot \sin 6x \cdot \sin 4x}}{{ - \frac{1}{{2\sqrt {9 - x} }}}}

                                  =  {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{6 \cdot \cos 0 \cdot \cos 0 - 4 \cdot \sin 0 \cdot \sin 0}}{{ - \frac{1}{{2\sqrt {9 - 0} }}}}

                                   =  {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{6 \cdot 1 \cdot 1 - 4 \cdot 0 \cdot 0}}{{ - \frac{1}{{2\sqrt 9 }}}}

                                   =  {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{6}{{ - \frac{1}{{2.3}}}} =  - 36
  9. Jika suatu fungsi  g(x) = a\sqrt {{x^2} - 2x - 3}   naik pada interval  \{ x|x \ge 3,x \in \mathbb{R}\}   dan turun pada interval  \{ x|x \le  - 1,x \in \mathbb{R}\}  , maka himpunan semua nilai yang memenuhi adalah …

    Jawab

           g(x) = a\sqrt {{x^2} - 2x - 3} \

           g'(x) = \frac{{a \cdot (2x - 2) \cdot \frac{1}{2}}}{{\sqrt {{x^2} - 2x - 3} }}   = \frac{{a \cdot (x - 1)}}{{\sqrt {{x^2} - 2x - 3} }} 
    fungsi g (x) naik pada interval\{ x|x \ge 3,x \in \mathbb{R}\}  maka
           
            g'(x) = \frac{{a \cdot (x - 1)}}{{\sqrt {{x^2} - 2x - 3} }} > 0″ src=”https://chart.apis.google.com/chart?cht=tx&chs=1×0&chf=bg,s,FFFFFF00&chco=000000&chl=g%27(x)+%3D+%5Cfrac%7B%7Ba+%5Ccdot+(x+-+1)%7D%7D%7B%7B%5Csqrt+%7B%7Bx%5E2%7D+-+2x+-+3%7D+%7D%7D+%3E+0″><br /><br />karena  <img alt=  terdefinisi untuk   \{ x|x \le  - 1\,\,\,atau\,\,\,x \ge 3\}   ,  {\sqrt {{x^2} - 2x - 3}  \ge 0}  dan (x – 1) > 0  untuk \   maka g(x) naik bila nilai a > 0

    fungsi g (x) turun pada interval \{ x|x \le  - 1,x \in \mathbb{R}\}  maka
             g'(x) = \frac{{a \cdot (x - 1)}}{{\sqrt {{x^2} - 2x - 3} }} < 0

    karena {\sqrt {{x^2} - 2x - 3} } terdefinisi untuk \{ x|x \le  - 1\,\,\,atau\,\,\,x \ge 3\} ,  \(\sqrt {\sqrt {{x^2} - 2x - 3}  \ge 0} dan (x – 1) < 0  untuk    maka maka g(x) turun bila nilai a > 0

    jadi fungsi g(x) = a\sqrt {{x^2} - 2x - 3}  akan naik pada interval \{ x|x \ge 3,x \in \mathbb{R}\} dan turun pada interval \{ x|x \le  - 1,x \in \mathbb{R}\}  bila a > 0
  10. garis m dan adalah garis singgung kurva y = (x) = 3 sin x berturut-turut di titik(π,0) dan (0,0). Luas daerah yang dibatasi y = (x) = 3 sin dengangaris m dan n adalah …

    Jawab
    gradien garis singgung kurva y = 3 sin x 
               
                  m = y’ 
    = 3 cos x

    pada titik (0,0), gradien kutva y

                  m = y’ = 3 cos x
                              = 3 cos 0 = 3

    persamaan garis melalui titik (0,0) dan bergradien m = 3

                  y - {y_1} = m(x - {x_1})

                   y - \,\,\,0\,\,\, = 3\,\,(x - 0)

                       y\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \,\,\,\,\,\,\,3x

    pada titik  \left( {\pi ,0} \right)
     m = y' = 3\cos \pi

                                = 3 \cdot  - 1 =  - 3

    persamaan garis melalui titik ((pi,0) dan bergradien m = -3
               
                    y - {y_1} = m(x - {x_1})

                    y - 0 =  - 3.(x - \pi )

                       y\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, =  - 3x + 3\pi

    grafik fungsi



    dari grafik nampak
    \int\limits_{\pi /2}^\pi  {\left( {( - 3x + 3\pi ) - 3\sin x} \right)dx}  = \int\limits_0^{\pi /2} {\left( {3x - 3\sin x} \right)dx}

    maka luas yang dibatasi kurva y = 3 sin x , y = 3y = -3x adalah

    Luas = \int\limits_0^{\pi /2} {\left( {3x - 3\sin x} \right)dx}   + \int\limits_{\pi /2}^\pi  {\left( {( - 3x + 3\pi ) - 3\sin x} \right)dx}        = 2\int\limits_0^{\pi /2} {\left( {3x - 3\sin x} \right)dx}    = \frac{{3{\pi ^2}}}{4} - 6 
  11. Nilai x yang memenuhi  \sin 2x \ge \sin x  pada interval   - \pi  \le x \le \pi   adalah …

    jawab

                     \sin 2x \ge \sin x

             2\sin x \cdot \cos x \ge \sin x

            \sin x(2cos\,x - 1) \ge 0



    persamaan tersebut terpenuhi bila    - \pi  \le x \le  - \frac{\pi }{3} ,   0 \le x \le \frac{\pi }{3},  \pi
  12. Misalkan sebuah kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 8 cm. Kosinus sudut antara bidang ABGH dengan bidang ABTU dengan T adalah titik tengah FG dan U adalah titik tengah EH adalah …

    jawab
                  
                    BG = \sqrt {B{C^2} + B{F^2}}  = \sqrt {{8^2} + {8^2}}  = 8\sqrt 2
                    TB = \sqrt {B{F^2} + F{T^2}}  = \sqrt {{8^2} + {4^2}}  = 4\sqrt 5

    nilai kosinus antara bidang ABTU dan bidang ABGH dengan
                    G{T^2} = B{G^2} + T{B^2} - 2 \cdot BG \cdot TB \cdot \cos \alpha
                      \,\,{4^2}\,\,\,\,\, = \,{\left( {8\sqrt 2 } \right)^2} + {\left( {4\sqrt 5 } \right)^2} - 2 \cdot 8\sqrt 2  \cdot 4\sqrt 5  \cdot \cos \alpha
                   64\sqrt {10}  \cdot \cos \alpha  = 128 + 80 - 16
                   \cos \alpha  = \frac{{192}}{{64\sqrt {10} }} = \frac{3}{{10}}\sqrt {10}
  13. Suatu vektor   \bar v = \left( {\begin{array}{ccccccccccccccc}
{{v_1}}\\
{{v_2}}
\end{array}} \right)   dicerminkan terhadap sumbu y = x kemudian hasilnya diputar mengelilingi pusat koordinat sejauh 270o berlawanan arah jarm jam. Hasilnya ditransformasikan oleh suatu matriks T sehingga bayangannya menjadi suatu vektor  \bar w = \left( {\begin{array}{ccccccccccccccc}
{{v_2}}\\
{{v_1}}
\end{array}} \right) . Matriks transformasi T adalah …

    Jawab

         \bar w = \left( {\begin{array}{ccccccccccccccc}
{{v_2}}\\
{{v_1}}
\end{array}} \right) = T\left( {\begin{array}{ccccccccccccccc}
{\cos 270}&{ - \sin 270}\\
{\sin 270}&{\cos 270}
\end{array}} \right) \left( {\begin{array}{ccccccccccccccc}
0&1\\
1&0
\end{array}} \right)\left( {\begin{array}{ccccccccccccccc}
{{v_1}}\\
{{v_2}}
\end{array}} \right)

                      = T\left( {\begin{array}{ccccccccccccccc}
0&1\\
{ - 1}&0
\end{array}} \right)  \left( {\begin{array}{ccccccccccccccc}
0&1\\
1&0
\end{array}} \right)\left( {\begin{array}{ccccccccccccccc}
{{v_1}}\\
{{v_2}}
\end{array}} \right)

                      = T\left( {\begin{array}{ccccccccccccccc}
0&1\\
{ - 1}&0
\end{array}} \right)\left( {\begin{array}{ccccccccccccccc}
{{v_2}}\\
{{v_1}}
\end{array}} \right)

                       = T\left( {\begin{array}{ccccccccccccccc}
{{v_1}}\\
{ - {v_2}}
\end{array}} \right)

          maka matriks  T = \left( {\begin{array}{ccccccccccccccc}
0&{ - 1}\\
1&0
\end{array}} \right)
     
  14. Tentukan himpunan penyelesaian yang memenuhi
    cos 2x + 7 cos x – 3 = 0

    Jawab
    cos 2x + 7 cos x – 3 = 0
    \left( {2{{\cos }^2}x - 1} \right) + \cos 7x - 3 = 0
    2{\cos ^2}x + \cos 7x - 4 = 0
    \left( {2\cos x - 1} \right)\left( {\cos x + 4} \right) = 0
    \cos x = \frac{1}{2}   atau   \cos x =  - 4

    karena   - 1 \le \cos x \le 1 untuk   - 2\pi  \le x \le \pi

    maka tidak ada x yang memenuhi  \cos x =  - 4
    dengan demikian penyelesaiannya adalah
    \cos x = \frac{1}{2}  berakibat  x = \left\{ {{{60}^0}{{,300}^0}} \right\}  untuk  \left[ { - 2\pi ,2\pi } \right]
  15. Sebuah toko mainan membuat kupon undian terdiri dari 4 angka berbeda dari 6 angka yang tersedia yaitu 1,2,3,4,5,6. peluang kupon undian yang nilainya lebih dari 3500 adalah …

    jawab
    Jumlah kemungkinan semua nomor kupon  = 6 . 5 . 4. 3 = 360 cara

    Jumlah kemungkinan nomor kupon > 3500
    a. untuk nomor kupon > 4000             = 3 . 5 . 4 . 3 = 180 
    b. untuk 3500 < nomor kupon < 4000 = 1 . 2 . 4 . 3 = 24 
        jadi banyaknya nomor kupon > 3500  = 204 

    peluang nomor kupon > 3500 =   = \frac{{204}}{{360}} = \frac{{17}}{{30}}

Leave a Comment